Як обчислити невизначений інтеграл

Інтегрування є значно складнішим процесом, ніж диференціювання. Не дарма часом його порівнюють з грою в шахи. Адже для його здійснення недостатньо просто запам'ятати таблицю - необхідно підходити до вирішення завдання творчо.

Чітко засвійте, що інтегрування - процес, зворотний диференціюванню. У більшості підручників функція, що отримується в результаті інтегрування, позначається як F (x) і носить назву першоподібною. Похідна первісна рівна F'( x) = f (x). Наприклад, якщо у завданні дана функція f (x) = 2x, процес інтегрування виглядає наступним
чином:∫2x=x^2+C, де C = const, за умови, що
F'( x) = f (x) Процес інтегрування функції можна записати
й іншим чином

:∫f (x) = F (x) + Обов'язково запам'ятайте такі
властивості інтегралів:1. Інтеграл суми дорівнює
сумі інтегралів:∫[f
(x) + z (x)] =∫f (x) +∫z (x) Для доведення цієї властивості візьміть похідні від лівої та правої частини інтеграла, після чого використовуйте аналогічну властивість суми похідних
, пройдену вами раніше. Постійний множник
виноситься за знак інтеграла

:∫AF (x) =A∫F (x), де A = const.Прості інтеграли обчислюються з використанням спеціальної таблиці. Однак, найчастіше в умовах завдань зустрічаються складні інтеграли, для вирішення яких знання таблиці недостатньо. Доводиться вдаватися до використання низки додаткових методів. Перший з них полягає в інтегруванні функції шляхом її
підведення під знак диференціалу
:∫f (d (x) z'( x) dx=∫f (u) d (u) Під u має на увазі складну функцію

, яка і перетворюється на просту. Існує також більш складний метод, який зазвичай застосовується, якщо необхідно проінтегрувати складну тригонометричну функцію. Він полягає в інтегруванні
по частинах.
Виглядає це наступним чином:∫udv=uv - ∫vduPredstavte собі, наприклад, що дано інтеграл ∫x*sinx dx. Позначте x як u, а dv - як sinxdx. Відповідно, v = -cosx, а du = 1 Підставляючи ці значення у вищезгадану
формулу, отримайте такий вираз:∫x*si

nxdx= -x * cosx- ∫ (-cosx) = sinx-x * cosx + C, де C = const.Ще один метод полягає в заміні змінної. Він застосовується в тому випадку, якщо під знаком інтеграла є вирази зі ступенями або
корінням. Формула заміни змінної зазвичай має такий вигляд:[∫f (x) dx]=∫f[z (t)] z'( t) dt, причому, t = z (t)