Як знаходити проміжки зростання і вбивання

Функція y = f (x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для довільних х2 > х1 f (x2) > f (x1). Якщо ж f (х2) Вам

знадобиться, Відомо, що для зростаючої функції y = f (x) її похідна f «(x) > 0і відповідно

f» (x) Приклад: знайдіть проміжки монотонності y = (x. 3 )/( 4-x. 2). Функція визначена на всій числовій осі, крім х = 2 і х = -2. Кормі того вона непарна. Дійсно, f (-x) = ((-x) ^ 3 )/( 4- (-x) ^ 2) = - (x ^ 3 )/( 4-x ^ 2) = f (-x). Це означає, що f (x) симетрична відносно початку координат. Тому дослідження поведінку функції можна зробити тільки для позитивних значень х, а потім добудувати негативну гілку симетрично позитивною. Y'= (3 (x. 2) (4-x. 2) + 2x (x. 3) )/( (4-x. 2

). Тепер необхідно знайти інтервали монотонності функції. Для цього слід вирішити нерівність:(x^2)(12-x^2)/((4-x^2)^2)>0 или (x^2)(x-2sqrt3)(x+2sqrt3)((x-2)^2)((x+

2)^2))0. Використовуйте метод інтервалів під час вирішення нерівності. Тоді вийде (див. ризи.1). Далі розгляньте поведінку функції на інтервалах монотонності, приєднуючи сюди всі відомості з області від'ємних значень числової

осі (в силу симетрії всі відомості там зворотні, в тому числі і за знаком) .f "(x) > 0 при - ^ Приклад 2. Знайти проміжки вбивання функції y = x + lnx/x.Решені. Область визначення функції-x > 0 .y "= 1 + (1-lnx )/( x  2) = (x  2 + 1-lnx )/( x  2) .Знак похідний при x > 0 повністю визначається

дужкою (x  2 + 1-lnx). Оскільки x ^ 2 + 1 > lnx, y "> 0. Таким чином, функція зростає на всій своїй області визначення. Приклад 3. Знайти інтервали монотонності функції "= х  4-2x  2-5.Решені. y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1). Застосовуючи метод інтервалів (див. ризи.2), потрібно знайти проміжки додатних і від'ємних значень похідної. Використовуючи метод інтервалів, ви зможете швидко визначити, що на проміжках х0функція зростає.