Приватний випадок паралелограма - прямокутник - відомий тільки в геометрії Євкліда. У прямокутника рівні всі кути, і кожен з них окремо становить 90 градусів. Виходячи з приватних властивостей прямокутника, а також з властивостей паралелограма про паралельність протилежних сторін можна знайти сторони фігури за заданими діагоналями і кутом від їх перетину. Обчислення сторін прямокутника ґрунтується на додаткових побудовах і застосуванні властивостей отриманих фігур.

Побудуйте прямокутник EFGH. Запишіть відомі дані: діагональ EG і кут, отриманий від перетину двох рівних діагоналей FH і EG. Побудуйте на малюнку діагоналі і позначте між ними кут.

Літерою А позначте точку перетину діагоналів. Розгляньте утворений побудовами трикутник EFA. Відповідно до властивості прямокутника його діагоналі рівні і діляться навпіл точкою перетину А. Обчисліть значення FA і ЕА. Так як трикутник EFA є рівнобедреним і його сторони ЕА і FA рівні між собою і відповідно рівні половині діагоналі EG.Далеї

вирахуйте першу сторону EF прямокутника. Дана сторона є третьою невідомою стороною розглянутого трикутника EFA. Згідно з теоремою косинусів за відповідною формулою знайдіть сторону EF. Для цього підставте у формулу косинусів отримані раніше значення сторін FA дорівнює ЕА і косинус відомого кута між ними. Обчисліть і запишіть отримане значення EF.Найдіть

другу сторону прямокутника FG. Для цього розгляньте інший трикутник EFG. Він є прямокутним, де відомі гіпотенуза EG і катет EF. Згідно з теоремою Піфагора знайдіть другий катет FG за відповідною формулою.

Відповідно до властивостей прямокутника його протилежні ребра рівні. Таким чином сторона GH рівна знайденій стороні EF, а НЕ = FG. Запишіть у відповідь всі вирахувані сторони прямокутника.

У завданнях з хімії шкільного курсу, як правило, потрібно обчислити обсяг для газоподібного продукту реакції. Ви можете це зробити, якщо відомо кількість молей будь-якого учасника хімічної взаємодії. Або знайдіть цю кількість з інших даних завдання. Вам знадобиться насамперед

зрівняння реакції. Візьміть для прикладу реакцію горіння аміаку в кисні з утворенням азоту і води. Вам необхідно знайти обсяг виділення газу N2.Проставте

коефіцієнти в рівнянні. Щоб перевірити себе, порахуйте кількість атомів одного елемента в лівій і правій частині рівняння. Зверніть увагу, в якому співвідношенні хімічні сполуки беруть участь у реакції. Тепер, знаючи кількість будь-кого з учасників реакції, ви можете визначити, скільки молей азоту утворилося.

Наприклад, відомо, що маса отриманої води, m (H2O), 72 грами. Розрахуйте молярну масу води. Для цього знайдіть у таблиці Менделеєва значення атомних мас елементів, що становлять молекулу, і складіть їх: М (H2O) = 2 * 1 + 16 = 18 г/моль. Обчисліть кількість молей води, що утворилася: v (H2O) = m (H2O )/M (H2O) = 72/18 =

4 моля. Визначте, скільки молей азоту вийшло, склавши пропорцію: 6 моль Н2О - 2 молі N2; 4 моля Н2О - х моль N2. Вирішіть рівняння, знайшовши х: х = 2 * 4/6 =

1,33 моль. Відповідно до закону Авогадро, один моль будь-якого газу в нормальних умовах, тобто при температурі 0 про і тиску 101325 Па, займає 22,4 літра. Розрахуйте обсяг виділився 1,33 моля азоту: V (N2) = 22,4 * 1,33

= 29,8 літра. Якщо ви знаєте, що в реакцію вступило, наприклад, 18 літрів кисню, скористайтеся законом об'ємних відносин Гей-Люссака. Він визначає, що обсяги газів, які беруть участь у реакції, відносяться один до одного, як прості цілі числа. Тобто з рівняння реакції випливає, що з трьох літрів O2 виходить два літри N2. Ви можете зробити висновок, що з 18 літрів кисню утворюється 12 літрів азоту.

Косінус - одна з тригонометричних функцій, яка застосовується у вирішенні геометричних і фізичних завдань. Дії з векторами також рідко обходяться без використання косинуса. Є кілька способів обчислення косинуса кута від найпростіших арифметичних дій до розкладання в ряд Тейлора. Вибір способу залежить від необхідної точності значення косинуса.

Будь-якому школяреві відомі таблиці Брадіса. Він зробив безліч копітких розрахунків, але позбавив математиків від трудомісткого підрахунку значень основних тригонометричних функцій для великої кількості кутів. До широкого поширення калькуляторів і обчислювальних машин ці таблиці використовувалися практично всіма інженерами, математиками, фізиками і студентами.

Обчислити косинус кута по таблиці дуже легко. Достатньо знайти в стовпчику значень кутів градуси кута, а потім йти по рядку таблиці до перетину з хвилинами кута. На зображенні показано фрагмент таблиці Брадіса. Видно, що значення косинуса для кута 72 ° 30'становить 0,3007. За таблицями Брадіса можна дізнатися значення функцій з точністю до 0,0001, для більшості обчислень така точність є цілком достатньою.

Спочатку тригонометричні функції були пов'язані з прямокутним трикутником і співвідношенням його сторін. Можна згадати про це і застосувати відомі співвідношення, якщо кут є гострим. Побудуйте прямокутний трикутник з вказаним кутом. Для цього проведіть два промені і опустіть з якої-небудь на одному з них перпендикуляр до іншого. Тепер, якщо позначити точки перетину променів літерами A, B і С, можна стверджувати, що cos ∠BAC = CA/AB або відношення належного до нього катета AC до гіпотенузи AB. Точність цього методу невисока і сильно залежить від точності побудов.

Для більшої точності обчислень тригонометричні функції розкладають до лав Тейлора. Ряд Тейлора для косинуса дивіться на малюнку. Розкладання в ряд дозволяє обчислити косинус з будь-якою точністю. Чим вища точність, тим більше членів ряду доведеться знайти. Брадіс у своїх таблицях розкладав косинус в ряд і знаходив перші кілька членів. Сучасні калькулятори роблять те саме.

Спробуйте вручну обчислити значення косинуса для 72 ° 30'. Для цього спочатку переведіть кут у радіани:72 ° 30'= 72,5 ° * - радий/180 ° = 1,2654 радий (зауважте, що значення числа - треба брати теж досить точним, в даній формулі використано  3,1416). Тепер підставте це значення в ряд і вирахуйте кілька перших членів ряду: 1 - 1,2654, 2/2 + 1,2654, 4/24 - 1,2654, 6/720 + 1,2654, 8/40320 = 1 - 0,8006 + 0,1068 - 0,0057 + 0,0002 = 0,3006, де 720 = 6!, 40320 = 8! .
Таким чином, cos 72 ° 30'= cos 1,2654 радий ^ 0,3006.

Точки максимуму і мінімуму є точками екстремуму функції, які знаходяться за певним алгоритмом. Це є важливим показником при дослідженні функції. Точках0 є точкою мінімуму, якщо для всіх x з певної околиці x0 виконується нерівність f (x) ^ f (x0) (для точки максимуму справедливо зворотна нерівність f (x) ^ f (x0)) .Найдіть

похідну функції. Похідна характеризує зміну функції в певній точці і визначається як межа ставлення приросту функції до прирощення аргументу, який прагне до нуля. Для її знаходження скористайтеся таблицею похідних. Наприклад, похідна функції y = x3 дорівнює

y'= x2.Прирівняйте цю похідну до нуля (в даному випадку x

2 = 0). Це будуть ті значення, при яких дана похідна дорівнюватиме 0. Для цього ставте у вираз довільні цифри замість x, при яких весь вираз стане нульовим. Наприклад

:
2-2x2 = 0 (1-x
) (1 + x) = 0x

1 = 1, x2 = -1Отримані значення нанесіть на координатну пряму і вирахуйте знак похідної для кожного з отриманих проміжків. На координатній прямій позначаються точки, які приймаються за початок відліку. Щоб вирахувати значення на проміжках, підставте довільні значення, що відповідають критеріям. Наприклад, для попередньої функції до проміжку -1 можна вибрати значення -2. На проміжку від -1 до 1 можна вибрати 0, а для значень більше 1 виберіть 2. Подставьте дані цифри в похідну і з'ясуйте знак похідної. У даному випадку похідна з x = -2 дорівнює -0,24, тобто негативно і на даному проміжку буде стояти знак мінус. Якщо x = 0, значення дорівнює 2, а отже на цьому проміжку буде показано позитивний знак. Якщо x = 1, то похідна також буде рівна -0,24 і тому

ставиться мінус. Якщо при проходженні через точку на координатній прямій похідна змінює свій знак з мінуса на плюс, то це точка мінімуму, а якщо з плюса на мінус, то це точка максимуму.