Косінус - одна з тригонометричних функцій, яка застосовується у вирішенні геометричних і фізичних завдань. Дії з векторами також рідко обходяться без використання косинуса. Є кілька способів обчислення косинуса кута від найпростіших арифметичних дій до розкладання в ряд Тейлора. Вибір способу залежить від необхідної точності значення косинуса.
Будь-якому школяреві відомі таблиці Брадіса. Він зробив безліч копітких розрахунків, але позбавив математиків від трудомісткого підрахунку значень основних тригонометричних функцій для великої кількості кутів. До широкого поширення калькуляторів і обчислювальних машин ці таблиці використовувалися практично всіма інженерами, математиками, фізиками і студентами.
Обчислити косинус кута по таблиці дуже легко. Достатньо знайти в стовпчику значень кутів градуси кута, а потім йти по рядку таблиці до перетину з хвилинами кута. На зображенні показано фрагмент таблиці Брадіса. Видно, що значення косинуса для кута 72 ° 30'становить 0,3007. За таблицями Брадіса можна дізнатися значення функцій з точністю до 0,0001, для більшості обчислень така точність є цілком достатньою.
Спочатку тригонометричні функції були пов'язані з прямокутним трикутником і співвідношенням його сторін. Можна згадати про це і застосувати відомі співвідношення, якщо кут є гострим. Побудуйте прямокутний трикутник з вказаним кутом. Для цього проведіть два промені і опустіть з якої-небудь на одному з них перпендикуляр до іншого. Тепер, якщо позначити точки перетину променів літерами A, B і С, можна стверджувати, що cos ∠BAC = CA/AB або відношення належного до нього катета AC до гіпотенузи AB. Точність цього методу невисока і сильно залежить від точності побудов.
Для більшої точності обчислень тригонометричні функції розкладають до лав Тейлора. Ряд Тейлора для косинуса дивіться на малюнку. Розкладання в ряд дозволяє обчислити косинус з будь-якою точністю. Чим вища точність, тим більше членів ряду доведеться знайти. Брадіс у своїх таблицях розкладав косинус в ряд і знаходив перші кілька членів. Сучасні калькулятори роблять те саме.
Спробуйте вручну обчислити значення косинуса для 72 ° 30'. Для цього спочатку переведіть кут у радіани:72 ° 30'= 72,5 ° * - радий/180 ° = 1,2654 радий (зауважте, що значення числа - треба брати теж досить точним, в даній формулі використано 3,1416). Тепер підставте це значення в ряд і вирахуйте кілька перших членів ряду: 1 - 1,2654, 2/2 + 1,2654, 4/24 - 1,2654, 6/720 + 1,2654, 8/40320 = 1 - 0,8006 + 0,1068 - 0,0057 + 0,0002 = 0,3006, де 720 = 6!, 40320 = 8! .
Таким чином, cos 72 ° 30'= cos 1,2654 радий ^ 0,3006.
Навчання
Навчання
Точки максимуму і мінімуму є точками екстремуму функції, які знаходяться за певним алгоритмом. Це є важливим показником при дослідженні функції. Точках0 є точкою мінімуму, якщо для всіх x з певної околиці x0 виконується нерівність f (x) ^ f (x0) (для точки максимуму справедливо зворотна нерівність f (x) ^ f (x0)) .Найдіть
похідну функції. Похідна характеризує зміну функції в певній точці і визначається як межа ставлення приросту функції до прирощення аргументу, який прагне до нуля. Для її знаходження скористайтеся таблицею похідних. Наприклад, похідна функції y = x3 дорівнює
y'= x2.Прирівняйте цю похідну до нуля (в даному випадку x
2 = 0). Це будуть ті значення, при яких дана похідна дорівнюватиме 0. Для цього ставте у вираз довільні цифри замість x, при яких весь вираз стане нульовим. Наприклад
:
2-2x2 = 0 (1-x
) (1 + x) = 0x
1 = 1, x2 = -1Отримані значення нанесіть на координатну пряму і вирахуйте знак похідної для кожного з отриманих проміжків. На координатній прямій позначаються точки, які приймаються за початок відліку. Щоб вирахувати значення на проміжках, підставте довільні значення, що відповідають критеріям. Наприклад, для попередньої функції до проміжку -1 можна вибрати значення -2. На проміжку від -1 до 1 можна вибрати 0, а для значень більше 1 виберіть 2. Подставьте дані цифри в похідну і з'ясуйте знак похідної. У даному випадку похідна з x = -2 дорівнює -0,24, тобто негативно і на даному проміжку буде стояти знак мінус. Якщо x = 0, значення дорівнює 2, а отже на цьому проміжку буде показано позитивний знак. Якщо x = 1, то похідна також буде рівна -0,24 і тому
ставиться мінус. Якщо при проходженні через точку на координатній прямій похідна змінює свій знак з мінуса на плюс, то це точка мінімуму, а якщо з плюса на мінус, то це точка максимуму.
Навчання
Запиленням називають процес перенесення пилку квітки від пилків тичинок до рильця пестика. Розрізняють два його типи - перехресне і самоопилення. У квіткових рослин досвід передує заплідненню.
При перехресному запиленні пилку з тичинок квітки однієї рослини переноситься на пестик іншої. У процесі самоопилення пилкові зерна потрапляють на рильце пестика однієї і тієї ж квітки. У деяких рослин, їх називають самостерильними, при самовпиленні не утворюється насіння.
Найчастіше перехресне досвіду здійснюється комахами, рідше - вітром, птахами або водою. Деякі рослини можуть бути досвідом як того, так і іншого способу, нерідко перехресний досвід поєднується з самовпиленням. У селекції рослин часто застосовується штучний досвід, його проводить людина.
Квітка є органом розмноження покритосемінних рослин. Тичинка квітки складається з тичиночної нитки і пилку, в якому утворюється пилок. У центрі квітки знаходиться один або кілька пестиків, які складаються із зав'язку, стовпчика і рильця. Рильце знаходиться на верхівці стовпчика і призначене для вловлювання пилку. Стовпчик піднімає його над зав'язкою, що полегшує процес вловлювання.
Обопільними називають квітки, в яких присутні як тичинки, так і пестики. Такі квітки є у яблуні, груші, картоплі, тюльпана. Квітки деяких рослин мають тільки тичинки, тоді їх називають тичиночними, або чоловічими. У інших рослин є тільки пестики, квітки в цьому випадку вважаються жіночими або пестичними. Роздільнополі квітки характерні для тополі, кукурудзи, огірка, верби та багатьох інших. У однодомних рослин чоловічі та жіночі квітки знаходяться на одній і тій же рослині, у двудомних - на різних особинах.
Більшість вітровиплюжних рослин починають цвісти ще до появи листя, що полегшує процес досвіду. Колоцвітник у таких кольорів відсутній або розвинений погано, тому він не перешкоджає руху вітру. Дрібний і сухий пилок утворюється у великій кількості, тичинки у таких рослин довгі і звисаючі.
Квітки, що досвідляються за участю комах, часто володіють приємним запахом, яскраві і великі, вони добре помітні. Пилок рослин є кормом для деяких комах. Залучені запахом квітки або її яскравим забарвленням, комахи витягують нектар з глибини квітки, при цьому вони стосуються своєю поверхнею пилкових зерен, які прилипають до їх тіла. Перемістившись від однієї квітки на іншу, комаха переносить пилок на рильці пестика.
Наявність суцвітей підвищує ефективність досвіду. У вітровиплюжних рослин суцвіття зазвичай знаходяться на кінцях гілок, не прикритих листям, так краще проходить віддача і вловлювання пилку. Невеликі квітки, зібрані в групи, стають більш помітними для комах, при цьому скорочується час їх переміщення від однієї квітки до іншої.
Навчання
Існує три найбільш популярних способи раціонально висловити концентрацію: через масову частку, молярну концентрацію і мольну частку. Для раціонального вираження концентрації насиченого розчину використовують також розчинність і коефіцієнт розчинності.
Масова
Щоб знайти масову частку речовини, що позначається, розділіть масу розчиненої речовини на загальну масу розчину. Тим самим, ви отримаєте безрозмірну величину, що показує, яку частину від всієї маси розчину займає конкретна розчинена речовина. Якщо ви хочете отримати результат у відсотках, домножте отримане число на 100%. (
X) = m (X )/m (X) + m (S) = m (X )/m, де m (X) - маса розчиненої речовини (г), m (S) - маса розчинника (г), m = [m (X) + m (S)] - загальна маса розчину.
Молярна концентра
Щоб знайти молярну концентрацію (молярність) будь-якої речовини в розчині, що позначається буквою C, розділіть кількість цієї розчиненої речовини (число її молей) на об'єм заданого розчину. Обсяг повинен бути заданий в літрах. Отримайте величину, виражену в моль/л. Вона покаже кількість розчиненої речовини в 1 літрі розчину.
C (X) = ^ (X )/V, де C (X) - молярна концентрація, ^ (X) - кількість розчиненої речовини (моль), V - об'єм розчину (л) .Мольна
Щоб
знайти мольну частку якоїсь речовини в розчині, що позначається буквою N, розділіть число молей даної речовини на число молей всього розчину. Отримайте безрозмірну величину, що показує, яку частину ця речовина займає від усієї кількості речовини вашого розчину. Мольну частку також можна записати у відсотках, домноживши результат на 100% .
N (X) = ^ (X )/^ (X) + ^ (S), де N (X) - мольна частка розчиненої речовини, в (X) - кількість розчиненої речовини (моль), (S) - кількість розчинника (моль).
З визначення мольної частки випливає, що сума мольної долі розчинної частки розчинника (молення).
N (X) + N (S) = 1.Концентрацію будь-якого
насиченого розчину нерідко виражають ще й через таке поняття, як коефіцієнт розчинності.
Щоб знайти коефіцієнт розчинності речовини, розділіть масу речовини, що утворює насичений розчин, на масу розчинника. Слід враховувати, що на насиченість розчину впливає температура, тому чисельне значення коефіцієнта розчинності для різних температур може бути різним
.
Навчання
Іноді потрібно дізнатися кількість споживаної енергії одним або групою приладів. Попередньо необхідно отримати значення миттєвої споживаної потужності. За допомогою цього значення легко розраховується спожита потужність протягом певного проміжку часу. Існує кілька варіантів вирішення такого завдання. Вам знадобиться
У деяких випадках миттєва потужність електроприладу вказана в його паспортних даних. Для отримання значення спожитої ним електроенергії за певний проміжок часу помножте значення миттєвої споживаної енергії (у кВт) приладу на значення проміжку часу, протягом якого він працював (у годиннику). Наприклад, при розрахунку енергії, спожитої побутовим телевізором зі споживаною потужністю 80 Ватт, який пропрацював протягом 3,5 годин, помножте потужність телевізора (0,08 кВт) на час (3,5 години). Отримайте значення загальної спожитої енергії телевізором за цей час: 0,08 3,5 = 0,28 кіловат-години. У разі коли потрібно розрахувати сумарну спожиту потужність групи приладів, спожита потужність спочатку розраховується для кожного приладу, потім ці значення підсумовуються.
Для вимірювання значення миттєвої спожитої потужності приладу увімкніть паралельно мережевої виделки приладу вольтметр змінного струму, а послідовно - амперметр змінного струму. Увімкніть прилад. Вважайте і перемножте отримані значення напруги і струму. Наприклад, отримана напруга була 218 Вольт, а струм 0,75 Ампер: 218 0,75 = 163,5 Ватта. Помножте це значення на кількість часу, протягом якого він працював (наприклад, 6 годин) і отримайте значення спожитої потужності: 0,1635 6 = 0,981 кіловат-годинник. При
наявності сучасного побутового ваттметра включіть його в електричну розетку. Потім підключіть вимірюваний споживач струму в розетку, що знаходиться на корпусі ваттметра. Вважайте значення миттєвого споживання енергії. На деяких моделях ватметрів додатково вказується значення спожитої енергії за час, що минув після включення.
