Інтегрування є значно складнішим процесом, ніж диференціювання. Не дарма часом його порівнюють з грою в шахи. Адже для його здійснення недостатньо просто запам'ятати таблицю - необхідно підходити до вирішення завдання творчо.

Чітко засвійте, що інтегрування - процес, зворотний диференціюванню. У більшості підручників функція, що отримується в результаті інтегрування, позначається як F (x) і носить назву першоподібною. Похідна первісна рівна F'( x) = f (x). Наприклад, якщо у завданні дана функція f (x) = 2x, процес інтегрування виглядає наступним
чином:∫2x=x^2+C, де C = const, за умови, що
F'( x) = f (x) Процес інтегрування функції можна записати
й іншим чином

:∫f (x) = F (x) + Обов'язково запам'ятайте такі
властивості інтегралів:1. Інтеграл суми дорівнює
сумі інтегралів:∫[f
(x) + z (x)] =∫f (x) +∫z (x) Для доведення цієї властивості візьміть похідні від лівої та правої частини інтеграла, після чого використовуйте аналогічну властивість суми похідних
, пройдену вами раніше. Постійний множник
виноситься за знак інтеграла

:∫AF (x) =A∫F (x), де A = const.Прості інтеграли обчислюються з використанням спеціальної таблиці. Однак, найчастіше в умовах завдань зустрічаються складні інтеграли, для вирішення яких знання таблиці недостатньо. Доводиться вдаватися до використання низки додаткових методів. Перший з них полягає в інтегруванні функції шляхом її
підведення під знак диференціалу
:∫f (d (x) z'( x) dx=∫f (u) d (u) Під u має на увазі складну функцію

, яка і перетворюється на просту. Існує також більш складний метод, який зазвичай застосовується, якщо необхідно проінтегрувати складну тригонометричну функцію. Він полягає в інтегруванні
по частинах.
Виглядає це наступним чином:∫udv=uv - ∫vduPredstavte собі, наприклад, що дано інтеграл ∫x*sinx dx. Позначте x як u, а dv - як sinxdx. Відповідно, v = -cosx, а du = 1 Підставляючи ці значення у вищезгадану
формулу, отримайте такий вираз:∫x*si

nxdx= -x * cosx- ∫ (-cosx) = sinx-x * cosx + C, де C = const.Ще один метод полягає в заміні змінної. Він застосовується в тому випадку, якщо під знаком інтеграла є вирази зі ступенями або
корінням. Формула заміни змінної зазвичай має такий вигляд:[∫f (x) dx]=∫f[z (t)] z'( t) dt, причому, t = z (t)

Індекс - узагальнюючий відносний показник, що відображає зміну в часі параметрів, що характеризують те чи інше явище порівняно з базовим значенням, планом або прогнозом. Індекс є відносною величиною динаміки, темпу зростання, оскільки пов'язаний зі зміною в часі. Це інструмент аналізу, який використовується в статистиці для планування та управління виробництвом.

Індекси класифікуються залежно від об'єкта дослідження на індекси об'ємних або кількісних показників (продукція, кількість товарів, споживання матеріальних благ, надані послуги) та індекси якісних показників (індекс заробітної плати, споживчих цін, собівартості продукції). За ступенем охоплення враховуваних елементів сукупності індекси поділяються на загальні, що характеризують все явище в цілому або всю сукупність, та індивідуальні, що відображають динаміку зміни окремих елементів явища. Крім того, залежно від того, що є базою порівняння, індекси можуть бути базовими, коли порівнюють з одним і тим же базовим періодом часу, і ланцюговими, коли порівняння виробляється з попереднім періодом.

Для кожного індексу виділяють три елементи: індексований показник, співвідношення кількісних оцінок якого характеризує даний індекс; порівнюваний рівень - кількісний показник за досліджуваний період часу і базисний рівень - кількісний показник за еталонний, базисний період часу, з яким порівнюється досліджуваний період. Індекс за своєю суттю є коефіцієнтом

. Індекси бувають двох основних видів - прості і аналітичні (агрегатні, загальні). Прості індекси відображають динаміку зміни досліджуваної ознаки без урахування її взаємозв'язку з іншими економічними, політичними, суспільними явищами. Розрахувати простий індекс (Ip) можна за формулою
:Ip = P1/P0,
де: P1 - стан досліджуваної ознаки в цікавий період
, Р0 - стан досліджуваної ознаки в базовий або попередній період

. Використовуйте індексний методу в економічному аналізі для оцінки відносної зміни будь-якого економічного явища або показника, для визначення впливу окремих факторів на зміну результативного показника, для оцінки впливу зміни структури явища на величину динамічної зміни цього економічного явища.

Авіація міцно увійшла в сучасне життя. Цивільна і військова, вона вже більше ста років вирішує широкий спектр завдань, справно служачи людям. Але ж колись людина і уявити собі не могла, що отримає можливість парити, як птах. Офіційна наука стверджувала, що апарат важче повітря літати не може. Але завдяки ентузіазму і вірі тих, хто не погодився з цією думкою, літаки стали реальністю.


Винахідником першого літака став Олександр Федорович Можайський - випускник Петербурзького морського училища. Несучи протягом 25 років морську службу, Можайський набув великого досвіду будівництва перших морських кораблів, оснащених паровими двигунами.

З 1856 року область його інтересів розширилася: він став проводити дослідження, що стосуються можливості створення літального апарату, який би був важче повітря. Винахідник ретельно вивчив кінематику крил птахів і на основі отриманих даних зробив висновок: крило літака має бути нерухомим. Щоб вивчити опір повітряних потоків рухомому тілу, Можайський сконструював спеціальний випробувальний прилад і провів серйозні вимірювання аеродинамічних сил.

Щоб перевірити розрахунки, вчений-конструктор проводив цікаві експерименти: він піднімався в повітря на великому повітряному змії, який тягнула кінська упряж. Так він підбирав оптимальні нахили крила і вивчав функціонування повітряних гребних гвинтів. Можайський будував різні літаючі моделі літаків, двигуном служили гумові джгути або годинникові пружини. У моделях відбувалося випробування фюзеляжу у вигляді човна, також випробовувалися рулі управління польотом літака. Поступово винахідник домігся того, що його моделі могли пролітати кілька десятків метрів, а також витримували певне навантаження під час польоту (офіцерський кортик).

Головною заслугою Можайського є те, що він поклав основу експериментальній аеродинаміці, встановив важливі аеродинамічні співвідношення. Всі ці напрацювання стали в нагоді в процесі створення ним першого літака

. Сувора комісія не підтримала прагнення Можайського і не виділила грошей для необхідних випробувань. До проекту конструктора поставилися з недовірою, вважаючи, що крила літального апарату повинні бути рухливі відносного його корпусу

. Винахідник продав свій родовий маєток, щоб купити патент і на власні гроші побудувати літак. Влітку 1882 року конструктор приступає до будівництва літака. Грошей знову не вистачає, Можайський знову звертається до уряду і йому знову відмовляють. На свої останні кошти Олександр Федорович все-таки закінчує будівництво повітряного судна. Починаються першовипробування, спочатку наземні, а потім і повітряні. Другі виявилися не зовсім вдалими: літак розігнався, злетів, пролетів кілька десятків метрів, нарінився і зачепив крилом землю. Потрібно було збільшити потужність двигунів. Військове керівництво особливо не надихнулося цими випробуваннями, вважаючи, що літак повинен був полетіти відразу

. Після цих подій ще протягом п'яти років Можайський без будь-якої допомоги збоку намагався вдосконалювати свій апарат. Завершити свої праці він, на жаль, не встиг. І лише 1903 року простіший аероплан, який побудували брати Орвілл і Вілбур Райт, піднявся в повітря і здійснив політ протяжністю 37 метрів і тривалістю 12 секунд
.

У сучасний час національний прапор Швейцарії являє собою зображення білого рівнокінечного усіченого хреста на червоному квадратному тлі. Історія формування прапора йде ще в Середні століття, проте порівняно недавно (XIX століття) Швейцарія офіційно прийняла національну символіку.